Дисциплина “Математический анализ”

 

Дисциплина “Математический анализ” посвящена изучению  функций одной и нескольких действительных переменных и их свойств.

Цели изучения дисциплины:

  1. Формирование математической культуры, системного мышления и основ естественнонаучного мировоззрения.
  2. Овладение аппаратом математического анализа, необходимым для понимания и освоения других математических, общенаучных и специальных дисциплин.

Задачи изучения дисциплины:

  1. Изучить логическую символику и математический язык.
  2. Приобрести базовые знания о функциях одной и нескольких переменных, их свойствах и различиях.
  3. Освоить методы исследования функций, включая особенности их поведения.
  4. Приобрести практические навыки вычисления пределов и производных функций одной и нескольких переменных, научиться строить их графики и находить их максимальные и минимальные значения.

Для начала изучения дисциплины достаточно знаний математики в рамках средней школы, сама же дисциплина необходима для последующего изучения остальных разделов высшей математики (интегралы, дифференциальные уравнения и т.д.).

Дисциплина разделена на два семестра и четыре модуля (см. рис. 1):

Модуль 1. Элементарные функции и пределы числовых последовательностей.

Модуль 2. Пределы и непрерывность функций одной переменной.

Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Модуль 4. Функции нескольких переменных.

Каждый модуль заканчивается рубежным контролем, который позволяет оценить как степень освоения теоретического материала модуля, так и полученные практические навыки решения соответствующего класса математических задач. В течение каждого модуля студенты должны выполнить модульное домашнее задание, которое позволяет отработать практические навыки решения задач и подготовиться к рубежному контролю. Также после каждого семинара выдается текущее домашнее задание по пройденному на данном семинаре материалу.

Первый семестр является адаптационным с пониженной учебной нагрузкой и заканчивается зачетом. В этом семестре студенты знакомятся с порядком проведения занятий, адаптируются к системе лекция-семинар-консультация и учатся выполнять все предусмотренные контрольные мероприятия хотя бы на минимально удовлетворительном уровне в установленные сроки. Во втором семестре учебная нагрузка повышается примерно в два раза и становится равной обычной нагрузке математической дисциплины, читаемой на инженерных факультетах. По завершении второго семестра  проводится письменный экзамен.

Разделение дисциплины на два семестра позволяет выстроить структуру лекций и семинаров таким образом, чтобы учесть наличие сурдоперевода, что делает процесс передачи знаний трехступенчатым – сначала преподаватель дает пояснения, сурдопереводчик его переводит, и только потом студенты делают соответствующие записи. Помимо этого, в первом адаптационном семестре много времени выделяется на правила чтения и речевое воспроизведение математических выражений. Это позволяет решить две проблемы: проблема запоминания достаточно большого объема новой информации – мы значительно легче запоминаем то, что мы можем прочитать и воспроизвести вслух – и проблема контроля степени усвоения и понимания материала – студент должен уметь не только выписывать те или иные формулы, определения и теоремы, но и объяснять их смысл.

Рис. 1. Структура дисциплины

(ДЗ – модульное домашнее задание, РК – рубежный контроль)

В рамках дисциплины “Математический анализ” еженедельно проводятся следующие занятия: лекции, семинары, индивидуальные и групповые консультации. На занятиях в обязательном порядке присутствуют сурдопереводчики. В аудиториях имеются электронные доски и проекционное оборудование.

По ходу учебного процесса студентам оказывают поддержку и помогают преодолевать наиболее распространенные и часто встречающиеся проблемы несколько вспомогательных дисциплин: семантика технических текстов, когнитивные технологии и тьюторинг. Связь “Математического анализа” с этими дисциплинами показана на рис. 2. В рамках дисциплины “Семантика технических текстов” выделяется несколько занятий на правильное понимание, чтение и речевое воспроизведение наиболее часто встречающихся на лекциях математических конструкций. “Когнитивные технологии” актуализируют изучавшиеся ранее и предполагаемые известными студентам математические знания и навыки решения задач, необходимые для успешной работы на  текущих семинарах по математическому анализу. В рамках тьюторинга проводятся консультации студентов по текущим учебным вопросам, осуществляется помощь с выполнением домашнего задания и проводится подготовка к рубежным контролям.

Рис. 2. Междисциплинарные связи (овалами показаны занятия, проводимые в рамках дисциплины “Математический анализ”, прямоугольниками – вспомогательные дисциплины)

В разделе “Общая информация” находятся рабочая программа дисциплины, календарные планы на оба семестра, вопросы к экзамену, примеры экзаменационных билетов, правила проведения экзаменов и список лекций с краткими аннотациями. Идущие следом разделы “Модуль 1” - “Модуль 4” содержат вопросы к рубежным контролям, примеры билетов и модульные домашние задания. Также в этих разделах приведены тексты всех лекций и соответствующих презентаций, использующихся на занятиях, что позволяет студентам либо предварительно готовиться к предстоящим занятиям, либо восстанавливать пропущенные занятия. Последний раздел “Актуализация знаний” содержит справочную информацию и материалы для работы на занятиях по вспомогательной дисциплине “Когнитивные технологии”.

Рабочая программа

Скачать:

Рабочая программа

Календарные планы

Скачать:

План работ на первый семестр - УЦ1

План работ на первый семестр - УЦ6

План работ на второй семестр - УЦ1

План работ на второй семестр - УЦ6

Экзамен

Скачать:

Теоретические вопросы к экзамену по первому семестру

Теоретические вопросы к экзамену по второму семестру

Образцы билетов к экзамену по первому семестру

Образцы билетов к экзамену по второму семестру

Правила проведения экзаменов

Аннотации лекций

Скачать:

Аннотации лекций(.pdf)

Элементарные функции и пределы числовых последовательностей

Рубежный контроль

Скачать:

Теоретические вопросы

Примеры билетов

Домашнее задание

Скачать:

Домашнее задание

Лекция 1.1

Логические символы. Виды чисел. Прямая и обратная теоремы. Необходимое и достаточное условия. Расширенное множество действительных чисел. Типы промежутков. Ограниченное и неограниченное множества. Точная верхняя и точная нижняя грани.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 1.2

Принцип вложенных отрезков. Числовая функция. Основные элементарные функции. Элементарная функция. Числовая последовательность и ее предел. Арифметические свойства конечных пределов.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 1.3

Необходимое и достаточное условия сходимости. Бесконечно большая последовательность. Бесконечно малая последовательность. Теоремы о конечных и бесконечных пределах. Число е и гиперболические функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Пределы и непрерывность функций одной переменной

Рубежный контроль

Скачать:

Теоретические вопросы

Примеры билетов

Домашнее задание

Скачать:

Домашнее задание

Лекция 2.1

Окрестность точки. Типы стремления аргумента. Предел функции в терминах окрестностей и неравенств. Арифметические свойства пределов. Односторонние пределы.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 2.2

Общие свойства пределов. Первый замечательный предел и его следствия. Второй замечательный предел и его следствия. Бесконечно малые функции. Бесконечно большие функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 2.3

Сравнение функций. О-большое и о-малое. Эквивалентные функции и их применение к вычислению предела. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 2.4

Непрерывность функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их классификация. Свойства функций, непрерывных в точке.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 2.5

Свойства функций, непрерывных в точке (продолжение). Непрерывность функции на промежутке. Наклонные и вертикальные асимптоты графика функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Рубежный контроль

Скачать:

Теоретические вопросы

Примеры билетов

Домашнее задание

Скачать:

Домашнее задание

Лекция 3.1

Производная, ее геометрический смысл. Дифференцируемость функции. Свойства дифференцируемых функций. Дифференциал функции и его свойства.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Текст 3.1 для самостоятельного изучения

Производные основных элементарных функций. Правила нахождения производных. Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Правила вычисления дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Физический смысл первой и второй производных.

Скачать:

Текст 3.1(.pdf)

Лекция 3.2

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Порядок роста функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 3.3

Формула Тейлора. Формула Маклорена. Приближенные вычисления с помощью формулы Тейлора. Монотонные функции. Экстремум функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Текст 3.2 для самостоятельного изучения

Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена. Вычисление пределов по формуле Тейлора.

Скачать:

Текст 3.2(.pdf)

Лекция 3.4

Условия существования экстремума. Выпуклость функции. Точки перегиба. Схема полного исследования функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

 

Функции нескольких переменных

Рубежный контроль

Скачать:

Теоретические вопросы

Примеры билетов

Домашнее задание

Скачать:

Домашнее задание

Лекция 4.1

Понятие функции нескольких переменных. Предел и непрерывность. Частные производные первого порядка. Дифференцируемость.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Текст 4.1 для самостоятельного изучения

Типы множеств в n-мерном пространстве. Дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные высших порядков.

Скачать:

Текст 4.1(.pdf)

Лекция 4.2

Производная сложной функции (3 теоремы и наиболее распространенные частные случаи). Инвариантность формы первого дифференциала. Приближенные вычисления. Дифференциалы высших порядков. Задача о полном дифференциале.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Текст 4.2 для самостоятельного изучения

Неявные функции, системы неявных функций и их производные. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению и градиент.

Скачать:

Текст 4.2(.pdf)

Лекция 4.3

Формула Тейлора. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое условие. Достаточные условия по второму дифференциалу и угловым минорам. Пошаговые алгоритмы поиска точек экстремума для функций двух и трех переменных.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Текст 4.3 для самостоятельного изучения

Задача на условный экстремум. Необходимое и достаточное условия условного экстремума. Пошаговый алгоритм поиска условного экстремума функции двух переменных с одним ограничением. Наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом ограниченном множестве.

Скачать:

Текст 4.3(.pdf)

Лекция 4.4

Векторная функция скалярного аргумента, ее предел и производная. Векторная функция постоянной длины.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Текст 4.4 для самостоятельного изучения

Элементы теории кривых. Кривизная и радиус кривизны плоской кривой.

Скачать:

Текст 4.4(.pdf)

План работ на первый семестр:

Скачать 

План работ на второй семестр:

Скачать

Модуль 1:

Модуль 2:

Модуль 3:

Модуль 4