Дисциплина “Математический анализ”

Введение

  Дисциплина “Математический анализ” посвящена изучению функций одной и нескольких действительных переменных и их свойств.

  Целями изучения дисциплины являются:

1. Формирование математической культуры, системного мышления и основ естественнонаучного мировоззрения.

2. Овладение аппаратом математического анализа, необходимым для понимания и освоения других математических, общенаучных и специальных дисциплин.

  Задачи изучения дисциплины состоят в следующем:

1. Изучить логическую символику и математический язык.

2. Приобрести базовые знания о функциях одной и нескольких переменных, их

свойствах и различиях.

3. Освоить методы исследования функций и выявления особенностей их

поведения.

4. Ознакомиться с основными положениями теории пределов и производных.

5. Приобрести практические навыки вычисления пределов и производных

функций одной и нескольких переменных.

6. Научиться решать задачи на нахождение максимальных и минимальных

значений функций при отсутствии и наличии каких-либо ограничений на

множество возможных решений.

  Для начала изучения дисциплины достаточно знаний математики в рамках

средней школы, при этом освоение самой дисциплины необходимо для

последующего изучения дисциплин естественнонаучного блока, в частности

«Физика», и остальных разделов высшей математики (интегралы,

дифференциальные уравнения и т.д.).

  Дисциплина разделена на два семестра и четыре модуля:

Модуль 1. Элементарные функции и пределы числовых последовательностей.

Модуль 2. Пределы и непрерывность функций одной переменной.

Модуль 3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Модуль 4. Функции нескольких переменных.

  Каждый модуль заканчивается рубежным контролем, который позволяет

оценить как степень освоения теоретического материала модуля, так и

полученные практические навыки решения соответствующего класса

математических задач. В течение каждого модуля слушатели дисциплины

должны выполнить модульное домашнее задание, которое позволяет отработать

навыки решения задач и подготовиться к рубежному контролю. Также после

каждого семинара выдается текущее домашнее задание по пройденному на

данном семинаре материалу.

  Каждый семестр состоит из двух модулей и заканчивается экзаменом (см.

рис. 1). Первый семестр является адаптационным с пониженной учебной

нагрузкой. В этом семестре слушатели знакомятся с порядком проведения

занятий, адаптируются к системе лекция-семинар- консультация и учатся

выполнять все предусмотренные контрольные мероприятия хотя бы на

минимально удовлетворительном уровне в установленные сроки. Во втором

семестре учебная нагрузка повышается примерно в два раза и становится

равной обычной нагрузке математической дисциплины, читаемой на

инженерных факультетах.

  Разделение дисциплины на два семестра позволяет выстроить структуру

лекций и семинаров таким образом, чтобы учесть наличие сурдоперевода, что

делает процесс передачи знаний трехэтапным – сначала преподаватель дает

пояснения, сурдопереводчик его переводит и только потом слушатели делают

соответствующие записи. Помимо этого, в первом адаптационном семестре

много времени выделяется на правила чтения и речевое воспроизведение

математических выражений. Это позволяет решить две проблемы: проблема

запоминания достаточно большого объема новой информации – мы значительно

легче запоминаем то, что мы можем прочитать и воспроизвести вслух – и

проблема контроля степени усвоения и понимания материала – слушатель

должен уметь не только выписывать те или иные формулы, определения и

теоремы, но и объяснять их смысл.

Рис. 1. Структура дисциплины

(ДЗ – модульное домашнее задание, РК – рубежный контроль)

  В рамках дисциплины “Математический анализ” еженедельно проводятся

следующие занятия: лекции, семинары, индивидуальные и групповые

консультации. На занятиях в обязательном порядке присутствуют

сурдопереводчики. В аудиториях имеются электронные доски и проекционное

оборудование.

  По ходу учебного процесса слушателям оказывают поддержку и

помогают преодолевать наиболее распространенные и часто встречающиеся

проблемы несколько параллельно идущих дисциплин: семантика технических

текстов, когнитивные технологии и тьюторинг. Связь “Математического

анализа” с этими дисциплинами показана на рис. 2. В рамках дисциплины

“Семантика технических текстов” выделяется несколько занятий на правильное

понимание, чтение и речевое воспроизведение наиболее часто встречающихся

на лекциях математических конструкций. “Когнитивные технологии”

актуализируют школьные знания, необходимые для успешной работы на

семинарах. В рамках тьюторинга с каждым слушателем индивидуально

отрабатываются непонятные или вызывающие трудности элементы

дисциплины.

Рис. 2. Междисциплинарные связи (овалами показаны занятия, проводимые в

рамках дисциплины “Математический анализ”, прямоугольниками – внешние дисциплины)

  В разделе “Общая информация” находятся рабочая программа

дисциплины, календарные планы на оба семестра, вопросы к экзаменам,

примеры экзаменационных билетов, правила проведения экзаменов и список

лекций с краткими аннотациями. Следующие разделы “Модуль 1” - “Модуль 4”

содержат вопросы к рубежному контролю, примеры билетов и модульное

домашнее задание. Также в этих разделах приведены тексты всех лекций и

соответствующих презентаций, использующихся на занятиях, что позволяет

слушателям либо предварительно готовиться к предстоящим занятиям, либо

восстанавливать пропущенные занятия. Последний раздел “Актуализация

знаний” содержит справочную информацию.

Модуль 1

Элементарные функции и пределы числовых последовательностей

Рубежный контроль

Скачать:

Теоретические вопросы

Примеры билетов

Домашнее задание

Скачать:

Домашнее задание

Лекция 1.1

Логические символы. Виды чисел. Прямая и обратная теоремы. Необходимое и достаточное условия. Расширенное множество действительных чисел. Типы промежутков. Ограниченное и неограниченное множества. Точная верхняя и точная нижняя грани.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 1.2

Принцип вложенных отрезков. Числовая функция. Основные элементарные

функции. Элементарная функция. Числовая последовательность и ее предел.

Арифметические свойства конечных пределов.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 1.3

Необходимое и достаточное условия сходимости. Бесконечно большая

последовательность. Бесконечно малая последовательность. Теоремы о конечных

и бесконечных пределах. Число е и гиперболические функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Модуль 2

Пределы и непрерывность функций одной переменной

Рубежный контроль

Скачать:

Теоретические вопросы

Примеры билетов

Домашнее задание

Скачать:

Домашнее задание

Лекция 2.1

Окрестность точки. Типы стремления аргумента. Предел функции в терминах

окрестностей и неравенств. Арифметические свойства пределов. Односторонние

пределы.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 2.2

Общие свойства пределов. Первый замечательный предел и его следствия. Второй

замечательный предел и его следствия. Бесконечно малые функции. Бесконечно

большие функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 2.3

Сравнение функций. О-большое и о-малое. Эквивалентные функции и их

применение к вычислению предела. Таблица эквивалентных бесконечно малых

функций.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 2.4

Непрерывность функций. Односторонняя непрерывность. Точки разрыва и их

классификация. Свойства функций, непрерывных в точке.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 2.5

Свойства функций, непрерывных в точке (продолжение). Непрерывность функции

на промежутке. Наклонные и вертикальные асимптоты графика функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Модуль 3

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Рубежный контроль

Скачать:

Теоретические вопросы

Примеры билетов

Домашнее задание

Скачать:

Домашнее задание

Лекция 3.1

Производная, ее физический и геометрический смысл. Производные основных

элементарных функций. Правила нахождения производных.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 3.2

Дифференцируемость функции. Свойства дифференцируемых функций.

Производные высших порядков. Дифференциал функции и его свойства.

Дифференциалы высших порядков.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 3.3

Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши. Правило Лопиталя. Порядок роста

функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 3.4

Формула Тейлора. Формула Маклорена. Разложение некоторых элементарных

функций по формуле Маклорена.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 3.5

Приближенные вычисления и вычисления пределов с помощью формулы Тейлора.

Монотонные функции. Экстремум функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 3.6

Условия существования экстремума. Выпуклость функции. Точки перегиба. Схема

полного исследования функции.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Модуль 4

Функции нескольких переменных

Рубежный контроль

Скачать:

Теоретические вопросы

Примеры билетов

Домашнее задание

Скачать:

Домашнее задание

Лекция 4.1

Типы множеств в n-мерном пространстве. Понятие функции нескольких

переменных. Предел и непрерывность.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 4.2

Частные производные первого порядка. Частные производные высших порядков.

Дифференцируемость и дифференциал.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 4.3

Производная сложной функции (3 теоремы и наиболее распространенные частные

случаи). Инвариантность формы первого дифференциала. Приближенные

вычисления. Дифференциалы высших порядков. Задача о полном дифференциале.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 4.4

Неявные функции, системы неявных функций и их производные. Касательная

плоскость и нормаль к поверхности. Производная по направлению и градиент.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 4.5

Формула Тейлора. Экстремум функции нескольких переменных. Необходимое

условие. Достаточные условия по второму дифференциалу и угловым минорам.

Пошаговые алгоритмы поиска точек экстремума для функций двух и трех

переменных.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 4.6

Задача на условный экстремум. Необходимое и достаточное условия условного

экстремума. Пошаговый алгоритм поиска условного экстремума функции двух

переменных с одним ограничением. Наибольшее и наименьшее значения функции

на замкнутом ограниченном множестве.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 4.7

Векторная функция скалярного аргумента, ее предел и производная. Векторная

функция постоянной длины.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Лекция 4.8

Элементы теории кривых. Кривизна и радиус кривизны плоской кривой.

Скачать:

Лекция(.pdf)

Презентация(.pdf)

Справочная информация