Дисциплина "Аналитическая геометрия"

Матрицы. Специальные виды матриц. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы. Алгебраические свойства линейных операций и транспонирования. Умножение матриц. Алгебраические свойства умножения. Элементарные преобразования матриц. Эквивалентные матрицы. Приведение матрицы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк.

Скачать:

Лекция1.1(.pdf)

Презентация 1.1 (.pdf)

Текст 1.1 для самостоятельного изучения

Определитель матрицы произвольного порядка, его свойства. Вычисление определителей 2-ого и 3-его порядков. Определитель транспонированной матрицы. Определитель произведения двух квадратных матриц. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложения определителя по строке или столбцу.

Скачать:

Текст 1.1(pdf)

Лекция 1.2

Вырожденные и невырожденные матрицы. Приведение квадратной невырожденной матрицы к единичной с помощью элементарных преобразований строк. Обратная матрица, ее единственность, критерий ее существования. Присоединенная матрица. Вычисление обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы. Обращение произведения двух квадратных невырожденных матриц. Решение матричных уравнений AX=C, XB=C, AXB=C с невырожденными матрицами A и B.

Скачать:

Лекция1.2(.pdf)

Презентация 1.2 (.pdf)

Текст 1.2 для самостоятельного изучения

Понятие линейной зависимости строк или столбцов матрицы. Ранг матрицы, теорема о ранге и ее следствие. Базисный минор. Базисные строки и столбцы. Теорема о базисном миноре и её следствие. Инвариантность ранга матрицы относительно ее элементарных преобразований. Способы вычисления ранга матрицы: метод окаймляющих миноров, метод элементарных преобразований.

Скачать:

Текст1.2(.pdf)

Лекция 1.3

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): основные понятия, координатная, матричная и векторная формы записи. Понятие общего и частного решений СЛАУ. Критерий Кронекера - Капелли совместности СЛАУ. Решение «квадратных» систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера. Метод Гаусса решения СЛАУ, выбор базисных и свободных неизвестных. Критерий единственности решения совместной СЛАУ.

Скачать:

Лекция1.3(.pdf)

Презентация 1.3 (.pdf)

Текст 1.3 для самостоятельного изучения

Однородные СЛАУ, их совместность. Критерий существования ненулевого решения однородной СЛАУ, его следствие для «квадратных» систем. Свойства решений однородной СЛАУ. Фундаментальная система решений однородной СЛАУ. Структура общего решения однородной СЛАУ. Структура общего решения неоднородной.

Скачать:

Текст 1.3(.pdf)

Лекция 1.4

Скалярные и векторные величины. Понятие геометрического вектора, как направленного отрезка. Длина вектора. Нуль-вектор, единичный вектор (орт). Угол между двумя векторами. Коллинеарные и компланарные векторы. Равенство векторов. Связанные, скользящие и свободные векторы. Линейные операции над векторами и их свойства. Ортогональная проекция вектора на направление другого вектора и ее линейные свойства. Разложение вектора по ортам координатных осей. Линейные операции над векторами в координатной форме. Модуль вектора. Направляющие косинусы. Условие коллинеарности векторов в координатной форме.

Скачать:

Лекция 1.4(.pdf)

Презентация 1.4 (.pdf)

Текст 1.4 для самостоятельного изучения

Линейная зависимость векторов. Критерии линейной зависимости двух, трех и четырех векторов. Базис. Координаты вектора в заданном базисе. Ортонормированный базис в пространстве. Координаты вектора в ортонормированном базисе как проекции этого вектора на направление базисных векторов. Скалярное произведение двух векторов, его алгебраические свойства. Формулы для вычисления скалярного произведения, длины вектора, косинуса угла между векторами через координаты векторов в ортонормированном базисе.

Скачать:

Текст 1.4(.pdf)

Лекция 1.5

Ориентация базиса, правые и левые тройки векторов. Векторное произведение двух векторов, его геометрический и механический смысл. Алгебраические свойства векторного произведения. Вычисление векторного произведения в ортонормированном базисе. Смешанное произведение векторов, его геометрический смысл. Алгебраические свойства смешанного произведения. Вычисление смешанного произведения в ортонормированном базисе. Условие компланарности трех векторов.

Скачать:

Лекция 1.5(.pdf)

Презентация 1.5 (.pdf)

Модуль 2

Рубежный контроль

Скачать:

Теоретические вопросы

Примеры билетов

Домашнее задание

Скачать:

Домашнее задание. Часть 1

Домашнее задание. Часть 2

Текст 2.1 для самостоятельного изучения

Декартова прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Формулы для расстояния между двумя точками и деления отрезка в данном отношении. Прямая на плоскости, её направляющий и нормальный векторы. Различные виды уравнения прямой на плоскости: прямая с угловым коэффициентом, параметрические уравнения, каноническое уравнение, уравнение в отрезках, общее уравнение. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой. Нахождение угла между прямыми.

Текст 2.1. (.pdf)

Лекция 2.1

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданному вектору. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки, не лежащие на одной прямой. Уравнение плоскости "в отрезках". Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Расположение заданной точки относительно сторон плоскости.

Лекция 2.1. (.pdf)

Текст 2.2 для самостоятельного изучения

Уравнения прямой в пространстве: как линии пересечения двух плоскостей, канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через две заданные точки. Прямая и плоскость в пространстве. Исследование взаимного расположения прямой и плоскости, двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми, угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до прямой. Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми.

Текст 2.2. (.pdf)

Лекция 2.2

Линии второго порядка на плоскости: эллипс, гипербола, парабола. Определение, общие характеристики. Каноническое уравнение, исследование формы. Эксцентриситет, директрисы. Общее уравнение кривой.

Лекция 2.2. (.pdf)

Презентация (.ppt)

Текст 2.3 для самостоятельного изучения

Поверхности второго порядка. Общее уравнение поверхности второго порядка. Канонические уравнения и вид поверхностей: эллипсоида, однополостного гиперболоида, двуполостного гиперболоида, эллиптического параболоида, гиперболического параболоида. Цилиндрические поверхности, конические поверхности.

Текст 2.3. (.ppt)